あらすじ
21世紀に入り急速に発展した"計算トポロジー"を、その立役者が基礎から説き起こした本格的入門書。
幾何学とトポロジー、アルゴリズムの分野を超えた融合が進み、その応用範囲は学問の世界を飛び出して実学の世界にまで拡がろうとしている。このような発展を専門家以外の幅広い方にお伝えしようというのが本書の目的である。
本書では、幾何学、トポロジー、そしてアルゴリズムをごちゃ混ぜにした内容を扱う。混ぜ合わせることによって、それぞれが薄まるようなことは全くない。むしろ、幾何学によりトポロジーが扱う位相的な構造を具体的に構成することができ、また、常にアルゴリズムを意識することで、構成が具体的な問題に応用できる複雑さのレベルを超えてしまうことを防げるという利点がある。
本書は3つのPartから構成されている。Part Aはトポロジカルな考え方への入門編である。Part Bでは古典的なトポロジーの題材のうちから、我々の目的に有用で、効率よく計算できるものを扱う。本書の中核をなし、また革新的な部分であるのは、Part Cである。Part Cでは、パーシステンスとその安定性という概念を導入し、応用について議論する。
[原著: Computational Topology: An Introduction, American Mathematical Society, 2010]
PartA 計算幾何学的トポロジー
第I章 グラフ
I.1 連結成分
I.2 平面上の曲線
I.3 結び目と絡み目
I.4 平面的グラフ
練習問題
第II章 曲面
II.1 2次元多様体
II.2 三角形分割の探索
II.3 自己交差
II.4 曲面の単純化
練習問題
第III章 複体
III.1 単体複体
III.2 凸集合系
III.3 ドロネー複体
III.4 アルファ複体
練習問題
PartB 計算代数的トポロジー
第IV章 ホモロジー
IV.1 ホモロジー群
IV.2 行列の簡約化
IV.3 双対ホモロジー
IV.4 完全列
練習問題
第V章 双対性
V.1 コホモロジー
V.2 ポアンカレ双対性
V.3 交叉理論
V.4 アレクサンダー双対性
練習問題
第VI章 モース関数
VI.1 通有的な滑らかな関数
VI.2 横断性
VI.3 区分線形関数
VI.4 レーブグラフ
練習問題
PartC パーシステントホモロジーとその計算
第VII章 パーシステンス
VII.1 パーシステントホモロジー
VII.2 効率の良い実装
VII.3 拡張パーシステンス
VII.4 スペクトル系列
練習問題
第VIII章 安定性
VIII.1 1パラメータ族
VIII.2 安定性定理
VIII.3 曲線の長さ
VIII.4 2部グラフマッチング
練習問題
第IX章 応用
IX.1 遺伝子発現データの測定
IX.2 タンパク質ドッキングでの標高差
IX.3 画像分割のパーシステンス
IX.4 根の構造のホモロジー
練習問題
訳者あとがき
